2023年新高中创新联盟TOP二十名校高一年级3月调研考试生物试卷 答案(更新中)

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19.(12分)某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm,2cm的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O,A在直线BC的同侧.若线段BC与劣弧BC所围成的弓形面积为S1,△OAB与△OAC的面积之和为S2,设∠BOC=20.(1)当0=时，求S2-S1的值：(2)经研究发现当S2一S,的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos0的值.（求导参考公式：(sin 2x)'=2cos 2x,(cos 2x)'=-2sin 2x)20解：由题意知：∠B0C=20∈(0，x),故0e(0,）过点O作OD⊥BC于点D,则D为BC的中点.又△ABC为等腰三角形，所以A,O,D三点共线，所以∠AOB=∠AOC=π-0，所以5，=专·2011-。OB·OCsin20=0-sin0cos0,s,=2x2×1×2×sin(x-0)=2sin0.(2分)岁0=号时，5-音-9s-,故S,-5,-543所以当0=号时S,-5,的值为55-吾(4分)(2)S2-5,=2sin0+2sin20-0,9e(0,2)令f(0)=2sin0+2sin20-0,8∈(0,2)则f'(0)=2cos0-1+cos20=2(cos28+cos0-1),令'(0)=0，得0s0=5,（负值含去.(6分)2当0变化时，f(),f'(0)的变化情况如下：9(0,0)Bof'(8)+0f(0)单调递增极大值单调递减(8分)记os0。-52,0∈0，)2故当0=0，中0s0-5时f0爱大，即5，-5，的位最大(12分)

18.(12分)已知函数f(x)=alnx-x+l(a>0).(1)试讨论函数f(x)的极值；(2)对任意x>0,f(x)≤2(a2-1)成立，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，+o∞)，f'(x)=a-1.因为a>0,令f'(x)=0,得x=a.(2分)在区间(0，a)上，f'(x)>0,f(x)是增函数；在区间(a,十∞)上，f'(x)<0,f(x)是减函数，所以当x=a时，f(x)有极大值f(a)=alna一a十l,无极小值.(4分)(2)由(1)知，当x=a时，f(x)取得极大值也是最大值.所以f(x)max=f(a)=alna-a十1(a>0),要使得对任意r>0,f()≤（a-1D成立，即alna-a+1≤2(a2-1),3则alna十2a≤0成立.(6分)令u(a)=alna+3-a-2a2(a>0),所以u'(a)=lna+1-1-a=lna-a,(8分)令k(a)=u'(a)=lna-a,k'(a)=1-1,令k'a)=1二&=0，得a=1.aa在区间(0，l)上，k'(a)>0,k(a)=u(a)是增函数，在区间(1，十o∞)上，k'(a)<0,k(a)=u'(a)是减函数，所以当a=1时，k(a)=u'(a)取得极大值也是最大值，(10分)所以u(a)max=u(1)=一1<0，则在区间(0，十∞)上，u'(a)<0,u(a)是减函数，又u(1)=0,所以要使得u(a)≤0恒成立，则a≥1，所以实数a的取值范围是[1，十∞).(12分)