江苏省宿迁市泗阳县2023年初中学业水平第一次模拟测试生物试卷 答案(更新中)

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已知函数f(x)=lnx一ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1,x2(x1 2a（i)x,-x1>2V-ea0(1)解：f(x)的定义域为(0，十∞)，f'(x)=1-a=1-ax则当a≤0时，f(x)在区间(0，十∞)上为增函数；当>0时，f(x)在区间(0，是)上为增函数，在区间（合+∞）上为减画数(2)证明：(1)原不等式等价于1十x2>1」2因为ax1=lnx1①，ax2=lnx2②，由②-①得a(x2-x1)=lnx2-lnx1,则a=nx2-lnx1x2-x1所以十x2、1x2-x12等价a2In x2-In x因为x2>x1>0,所以lnx2-lnx1>0,即证1n,-1n1>2z2,等价于1n③，x1十x2x11+2令4=兰>1D,设ge)=1n4-2(t-1),(t>1),则③等价于g(t)>0,x11+t由g'(u)=4(t-1)2.(1+t)2-(t+1)>0,得g(t)在区间(1，十∞)上为增函数，g(t)>g(1)=0,从而可得>】，即1十>2aa(i)设h(x)=nz,则'(x)=1-n2,22所以h(x)在区间(0，e]上单调递增，在区间(e,十∞)上单调递减，且h(e)=二因为方程a=h(x)有两个不相等的实根，所以0 1-x对x∈(0,1)恒成立.ax1-1=lnx1-1=ln1>1-e,因为x1>0,所以ax?一2x1十e>0.又因为a>0,4=4-4ae>0,所以x,<}-e0或1>】+0a因为1， 将以要->日（日。）a即x2一x1>2√1-eae

22.(12分)已知函数f(x)=(2十a)sinx一xcos x,a∈R.(1)当a>-1时，证明：f(x)在区间[0，]上单调递增：(2)设g(x)=a(x+sinx),证明：对任意x∈(0，π)，当a≤1时，f(x)>g(x).证明：(1)由题意得f'(x)=(2+a)cosx-(cosx-xsin x)=(a十l)cosx十xsin x.(1分)图为x∈[0，]，所以sin≥0，osx≥0，因为a>一1，所以a十1>0，所以f'(x)=(a+1)cosx十xsin x>0,(3分)所以f(x)在区间[0，]上单调递增。(4分)(2)不等式f(x)>g(x)等价于2sinx-xcos x-ax>0.G(x)=2sin x-xcos x-ax,则G'(x)=cosx十xsin x-a.令h(x)=G'(x),则h'(x)=xcos x,当x∈(0，）时，h'(x)>0,G'(x)单调递增，当x∈(2，x时，h'(x)<0,G'(x)单调递减所以G'(x)≤G'(2)(7分)因为a≤1，所以G'(0)=1-a>≥0，G(2)=-a>0,G'(x)=-1-a①当G'(π)=一1一a≥0，即a≤一1时，G'(x)>0在区间(0，π)上恒成立，即G(x)在区间(0，π)上单调递增，所以G(x)>G(0)=0,特合题意.(9分)②当G'(π)=-1-a<0,即-1 0,所以G(x)>0在区间(0,2)上恒成立，而在区间（分，上G'(x)有且只有一个零点，记为x…当x∈(0，xo)时，G'(x)>0,G(x)单调递增；当x∈(x0,π)时，G'(x)<0,G(x)单调递减.又G(0)=0,G(π)=π(1一a)≥0，所以G(x)>0,特合题意.综上所述，对任意x∈(0，π)，当a≤1时，G(x)>0,即对任意x∈(0，π)，当a≤1时，f(x)>g(x).(12分)