衡水金卷先享题 2023届信息卷 英语(全国甲卷)(一)1答案试卷 答案(更新中)

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18.(12分)已知关于x的函数f(x)=ax一lnx一(1十ln2).(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当n∈N*时，ln(1×2×3×…Xn) 0).(1分)2当a≤0时，f'(x)<0,则f(x)在区间(0，十∞)上单调递减；(2分)当a>0时，fe=g=1-)(3分)所以当x>时，f(x)>0,f(x)在区间（日，+∞）上单调递增，当0 0时，f(x)在区间（日，十∞）上单调递增，在区间(0，日》上菜调说成(6分)(2)证明：由(1)知当a=2时，f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间（分，十∞）上单调递增，(7分)所以f(x)≥f(2)=0,即1nx≤2x-1-lh2(x>0,当且仅当x=2时取等号，(9分)所以ln1<2-1-ln2=1-ln2,ln2<4-1-ln2=3-ln2,ln3<6-1-ln2=5-ln2,In n<2n-1-In 2,(11分)以上各式相加得ln1+ln2+ln3+…+lnn<[1+3+5+…+(2n一1)]一nln2,即ln(1X2X3X…Xn)

17.(10分)(1)证明：e≥x+1;(2)证明：lnx≤x-1；(3)比较e-1与ln(x+1)的大小，无需说明理由.(1)证明：令f(x)=e2-(x+1),则f'(x)=e-1.令f'(x)<0,得x<0,令f'(x)>0,得x>0.所以f(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区间(0，十∞)上单调递增，(2分)所以f(x)≥f(0)=e°-1=0，即e-(x+1)≥0，所以e≥x十1.(3分)1(2)证明：令g(x)=lnx-(x-1)(x>0),则g'(x)=-1.x令g'(x)<0,得x>1,令g'(x)>0,得0 ln(x+1).(7分)由(1)得e≥x十1，所以e-1≥(x一1)十1=x(当且仅当x=1时取等号)①.(8分)由(2)得lnx≤x-1,所以ln(x+1)≤(x十1)一1=x(当且仅当x=0时取等号)②.(9分)因为①式与②式取等号的条件不同，所以e-1>ln(x+1).(10分)