衡水金卷先享题 2023届信息卷 生物(重庆专版)(一)1答案试卷 答案(更新中)

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米已知函数f(x)=xer-a一x2】(1)讨论f(x)零点的个数；(2)设m,n为两个不相等的正数，且em-a一m=e”-4一n=0,证明：mn<1.(1)解：已知f(x)=x(e-a-x),令f(x)=0,得x=0或e-a一x=0.因为e-a一x=0,所以x一lnx=a.设h(x)=x-lnx(x>0),则h'(x)=1-1=-1令h'(x)>0,则x>1;令h'(x)<0,则0 1时，f(x)有三个零，点.(2)证明：因为em-a一m=e"-a一n=0,所以m,n为f(x)的两个不同的零点，不妨设0 0对任意的x∈(0,1)恒所以函数0(x)在区间(0,1)上单调递增，所以p(x) 1,】>1,且h(x)在区间(1，十∞)上单调递增，所以n<,故mn<1,得证.nm

22.(12分)已知函数f(x)=xlnx十ax,且y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x十4y十3=0互相垂直.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x>2时，不等式（工）+2张>十1k∈Z恒成立，求k的最大值.解：(1)因为f(x)=xlnx十ax,所以f'(x)=lnx+1十a,所以f'(e)=lne+1+a=2十a.(1分)因为y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x十4y+3=0互相垂直，所以f'(e)（-）=-1,得f'(e)=4,(2分)即f'(e)=2十a=4,所以a=2,(3分)所以f(x)=xlnx十2x,x>0,所以f'(x)=lnx+3.令f'(x)=lnx十3=0，得x=e3,所以当x>e-3时，f'(x)>0,当0 2时，不等式fx)+2张>6+1k∈恒成立，pnz+2红+2>6+1，x>2.x化简不等式为k 2,则k 2,所以h'(x)<0,故h(x)在区间(2，十∞)上单调递减.5又h(8)=1n8-4+2=ln8-2>0,h(9)=ln9-号+2=ln9-名<0，1所以了x∈(8,9)，使得h(x)=lnxo-22。+2=0,即1nxo=2x-2,且当x∈(2，xo)时，g'(x)<0;当x∈(x0,十∞)时，g'(x)>0,所以g(x)n=g(xo)=oln十xo(10分)x0-2又lnxo=2x0-2,(合-到+-2a+1x6一x021所以g(xo)=x0-2xo-2x0-2To.2(11分)因为8C,<9,所以gx)(4,2）因为k∈Z且k