皖智教育安徽第一卷·2023年安徽中考信息交流试卷(一)1数学试卷 答案(更新中)

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20.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB为等边三角形，O为△PAB的重心，PB⊥AC,∠ABC=60°，BC=2AB.(1)证明：平面PAB⊥平面ABC;BD(2)在棱BC上是否存在点D,使得直线OD∥平面PAC?若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由.(1)证明：设AB=m,则BC=2m,在△ABC中，由余弦定理得AC=√m2十4m2-2m2=√3m.因为AB2+AC2=4m2=BC2,所以AC⊥AB.因为AC⊥PB,AB∩PB=B,AB,PBC平面ABP,所以AC⊥平面PAB.因为ACC平面ABC,所以平面PAB⊥平面ABC.(2)解：如图，取PA的中点为E,连接BE,CE,则点O在BE上.在平面BCE内过点O作CE的平行线交BC于点D.因为OD∥CE,OD中平面PAC,CEC平面PAC,所以OD∥平面PAC.因为O为△PAB的重心，所以BO：OE=2：1.BD又BD:DC=B0:OE,所以C=2,所以在棱BC上存在点D,使得直线OD∥平面PAC,此时DCBD=2.B