炎德英才大联考湖南师大附中2022-2023高一第二学期第一次大练习数学试卷 答案(更新中)

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15.在空间直角坐标系Oxy之中，有一个等边三角形ABC,其中点A在之轴上.已知该等边三角形的边长为2，重心为G,点B,C在平面xOy上.若OG在z轴上的投影是z,则|OG引2=.（用字母x表示）【答案】3-3x2【解析】知图，设BC的中点为M,连接AM,因为等边三角形ABC的重心为G,所以GM=行AM,设O亡在：轴上的投影是O,则0N=0A.又O心在x轴上的授影是x,所以1OA=3z,因为等边三角形的边长为2，所以在R△0AB中，0B1=V4-9z,同理可得10C1=V4-9z,因为0G=号(O+O店+OC),所以|0心：=号oi+oi+0心)'=号oi+0+0心+20i.0i+20i.0心+20d.0)=号(9x+4-9x+49e2+0+0+2V4-9z.4=9.4-9x+4-9x-4）=424-9V4-9）-3x2.

14.已知A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC,AB=BC=4,若球O的体积为36π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为√/10【答案】【解析】如图，取AC的中点M,连接MO,因为AB⊥CB,所以M是△ABC的外心，则OM⊥平面ABC,又BC=BA,所以3MLAC,由S=xR3=36元得R=3,即OC=3,又BC=AB=4,所以MC=MA=MB2√2.因为M,O分别是AC,PC的中点，所以PA∥OM,PA=2OM,OM=√OC2-MC2=√32-(2√2)2=1，以M为坐标原，点，分别以MC,MB,MO所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标系，则A(一2√2,0,0)，P(-2√2,0,2)，B(0,2√2,0)，PB=(2√2,2√2，-2)，与AC平行的向量为n=(1,0,0),c0s(n,PB)=n·PB2√2|nPB|1×√8+8+4二50，所以异面直线PB和AC所成角的余弦值为0.=√10240