琢名小渔河北省2023届高三专项定向测试数学试卷 答案(更新中)

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21.(12分)设双面线C:言-若=1(a>0,6>0)的右顶点为A,虚轴长为，两准线间的距离为(,x2-y以原点为中心的双曲线y=1的准线方程是x=±。)m208一0090路衣#旅0太道补00一02090=山(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线L与双曲线C交于P,Q两点，已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.解：1)由虚轴长为v2,知6=22由两准线间的距离为，知2一6c3所以3a=2c2=2a2+62)=2(a2+2）0008一8记88=4安珠长动坐味帕设情O点演解得a2=1或a2=-3（含去)，,809-0n208,S=a人故双曲线的方程为x2一2y2=1.(2)由(1)得A(1,0),①若动直线L的斜率不存在，则设1x=1,代入双南线方程可得P(,号)Q,-写)由AP⊥AQ,可得-1D2_,1=0,2解得t=3或t=1(舍去)，此时，点A到l的距离为d=2;②若动直线l的斜率存在，则可设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l:y=kx十t,代入双曲线方程得(1一2k2)x2一4ktx一(2t2十1)=0，4kt2t2+1则x1+x2=1-2hx1x=-1-2由AP⊥AQ,知(x1-1)(x2-1)+y1y2=0.即(x1-1)(x2-1)十(kx1+t)(kx2+t)=0,化简得(1十k2)x1x2+(kt一1)(x1十x2)十t2+1=0,将1+1=-2是代入，些理得跳+0十)-04kt2t2+1若k十t=0,则直线经过右顶点A,舍去；故3k十t=0,即直线经过定点M(3,0),则d≤|AM|=2.综上，d的最大值为2.