2023届智慧上进·名校学术联盟·高考模拟信息卷 押题卷(七)7数学试卷 答案(更新中)

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21.(12分)已知函数y=lg(3一4x十x2)的定义域为M,函数f(x)=4一2r+1(x∈M).(1)求M;(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈M时，若关于x的方程4一2+1=b(b∈R)有实数根，求b的取值范围，并讨论实数根的个数.解：(1)由x2-4x+3>0,解得x<1或x>3,所以M={xx<1或x>3}.(2分)(2)设t=2,因为x<1或x>3,所以t∈(0,2)U(8,十∞).则f(x)=g(t)=t2-2t=(t-1)2-1,(4分)当t∈(0,1)时，g(t)单调递减，当t∈(1,2)时，g(t)单调递增，g(1)=一1，g(0)=g(2)=0,所以当t∈(0,2)时，g(t)∈[-1,0.当t∈(8，十∞)时g(t)单调递增，g(8)=48,所以g(t)∈(48，十∞)，故f(x)的值域为[一1,0)U(48,+∞).(6分)(3)因为关于x的方程b=4一2+1有实数根，即方程b=f(x)有实根，所以函数y1=b与函数y2=f(x)(x∈M)的图象有交点.(7分)由(2)知f(x)∈[-1,0)U(48,+o),所以当b∈[一1,0)U(48,十∞)时，方程有实数根.(8分)下面讨论实根的个数：f'(x)=2r+11n2·(2一1)，且f(0)=-1,则当x∈(-o∞，0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(3，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以①当b=一1或b∈(48，十∞)时，方程只有一个实数根；②当b∈（一1,0）时，方程有两个不相等的实数根。(12分)

20.(12分)已知函数f(x)=log4(4十1)+kx是偶函数.(1)求实数k的值；(2)若函数g(x)=loga·2-3a小函数F(x)=f(x)-g(x)只有一个零点，求实数a的取值范围.解：(1)由题意，函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(一x),即log4(4+1)+kx=log4(4-+1)-kx,(2分)42+1所以log4+142(4+1)=-2kx,即l1og44#+1=x=一2kx,(4分)若(2k+1)x=0对x∈R恒成主，则=-】2(5分)(2)因为函数Fx)=fx)-g)=log,《4+1)--1oga·2r-等a)只有-个率点，所以方程1og,(4+1)=2x+1og[a…2-号a]有且只有-个实根，即方程1og,(+1)=1og,4+1o8a·2-专0）=1oga·2(2-]有且只有-个实振，即方程(2)2+1=a·2(2-号)有且只有一个实根，令1=20>0)，则方程(a一11-号：-1=0有且只有一个正根，(6分)①当a=1时4=一，不合题意；(8分)②当α≠1时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由△=0，解得a=-3或4，3(9分)3当a=时，则t=一2不合题意，舍去；(10分)当a=一3时，则t=,符合题意，若方程有两根异号，则一】<0,所以a>1.a-1(11分)综上，a的取值范围是{-3}U(1,+∞).(12分)