衡水金卷先享题 2023届信息卷 文数(全国乙卷A)(一)1答案试卷 答案(更新中)

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22.(12分)已知函数f(x)=lnx-x+1x-11(1)求f(x)的单调区间；(2)设xo满足f(xo)=0,证明：曲线y=lnx在点A(xo,lnxo)处的切线也是曲线y=e的切线.(1)解：函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+∞)，f)=a-则r)x2+1x(x-1)2(2分)因为函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+∞)，所以f'(x)>0恒成立，因此函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(1，+∞).(4分)(2)证明：因为x。是f(x)的一个零点，所以f(xo)=lnx。x0+1xo-1=0,即lnx,=20+x0-1y=lnx,则y'=二，所以曲线y=ln工r在点A(x,lnx)处的切线1的斜率k=】故曲线y=lnx在，点A(xo,lnxo)处的切线l的方程为y一lnxo=一(x一xo).(6分)叉lnxo=0+1。-i,所以1的方程为y=工+2xo zo-1'它在y轴上的裁距为一20-1设曲线y=e2的切，点为B(x1,e1),设在B(x1,e1)处的切线为l',由y=e得y'=e,所以在，点B(x1,e1)处的切线l'的斜率为e1,因此切线l'的方程为y=e1x十e1(1一x,).(8分)当切线'的斜率，=e1等于直线1的斜率=】时，To即e=1,则x,=ln1=-lno切线'在y轴上的藏距为b1=(1一x)=eh(1+1nx)=上(1+1nx),工0雨，所以6-+)是(10分)则直线1，'的斜率相等，在y轴上的戴距也相等，所以直线1，'重合，故曲线y=lnx在点(xo,lnxo)处的切线也是曲线y=e的切线.(12分)

21.(12分)已知函数f(x)=e一ax,且函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y=(e一2)x十b.(1)求a,b的值并分析函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=f(x)一m,x∈[一1,1]恰有两个零点，求实数m的取值范围.解：(1)由f(x)=e2-ax得f'(x)=e2一a,由题意知f'(1)=e-2,即e一a=e一2，解得a=2.(2分)又f(1)=e一2，而切点(1，f(1))在切线y=(e-2)x十b上，所以e一2=e一2十b,解得b=0(4分)则f'(x)=e-2,令f'(x)>0,得x>ln2,令f'(x)<0,得x