2023普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷QG(五)5数学试卷 答案(更新中)

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20.(12分)x2 y2已知双曲线P:a一=1(a>0,b>0)过点（4,13)，离心率为4，直线1：x=9交x轴于点A,过点A作直线交双曲线T于M,N两点.(1)求双曲线T的标准方程；(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方程，解：0由道毫得99=1，日-a+6=a解得a2=3,b2=39,-y2双曲线Γ的标准方程为3一(2)设直线MN的方程为y=k(红-9，与双曲线方程339。=1联立，得(13-k2)x2+18k2x-(81k2+39)=0.当△=324k4+4(13一k2)(81k2+39)>0时，18k2设M(x1y),N(xy),得x1十x2=一13-21x:=81k2+3913-k2又因为x1=心十929,所以x=9k2+39,x号+9x2=-81k2+3913-k2’213-,解得6：=1.此时△>0，所以直线MN的方程为x十y一9=0或x一y一9=0.

19.(12分)》已知抛物线E:x2=2y(p>0)的焦点为F,圆M的方程为x2十y2一py=0,若直线x=4与x轴交于点R,与抛物线交于点Q,且QF1=5RQ1.(1)求抛物线E和圆M的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A,B两点，与圆M交于C,D两点（点A,C在y轴同侧），证明：|AC引·IBD|为定值.（1解：设Q4由1QF=1RQ1,得+号-号即y-2p.将点(4,2p)代入抛物线方程，可得p=2.所以抛物线E:x2=4y,圆M的方程为x2十y2一2y=0.(2)证明：抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),由题可知直线L的斜率存在，所以设直线1的方程为y=kx十1，A(x1,y1),B(x2,y2).联立区=4y得x-4红-4=0，则△=16(%：+1D>0,y=kx+1,且x1十x2=4k,x1x2=-4.由圆的方程可得圆M的圆心坐标为M(0,1),半径为1，圆心就是焦点.由抛物线的定义可知|AF|=y1十1，|BF|=y2十1.则|AC|=|AF|-1=y1,|BD|=|BF|-1=y2,所以AC·BD|=y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k2+4k2+1=1.即AC·BD为定值1.