2023年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷(新高考)(二)数学试卷 答案(更新中)

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19.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)证明：直线1⊥平面PAC;(2)若直线L上存在一点Q(与B都在直线AC的同侧)，且直线PQ与直线EF所成的角为牙，求平面PBQ与平面AEF所成锐二面角的余弦值.(1)证明：因为E,F分别是PC,PB的中点，所以BC∥EF.又EFC平面AEF,BC中平面AEF,所以BC∥平面AEF,又BCC平面ABC,平面AEF∩平面ABC=L,所以BC∥L.又BC⊥AC,平面PAC∩平面ABC=AC,平面PAC⊥平面ABC,所以BC⊥平面PAC,所以I⊥平面PAC.(2)解：以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，E则A20,0,B0,40P1,0),E(合0，）F(分2，号）A正-(0，)，=020，设Q2,y,0),则P0=(1,y,-√3).2√4+y√4+y又Q与B都在直线AC的同侧，所以y=2,即Q(2,2,0).所以PQ=(1,2,-√3)，BQ=(2,-2,0).设平面PBQ的一个法向量为n=(xo,yo,之o),则P西n=0即+2.32=0取=1，可得m=(1,1,BQ·n=0,2xo-2yo=0,√3).313设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,之)，则m=-2x+=0取z=3,2EF·m=2y=0,得m=(1,0,√3).所以|cos(m,n)|=1+3125√5×252√5所以平面PBQ与平面AEF所成锐二面角的余弦值为5

18.(12分)如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线1旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为O,D是几何体侧面上不在圆O上的动点，AB是圆O的直径，C为圆O上不同于A,B的动点，G为△ABC的重心，AE=2 ED.(1)证明：EG∥平面BCD;(2)当三棱锥D-ABC的体积最大时，求直线CD与平面BGE所成角的正弦值.De...-.(1)证明：连接AG并延长交BC于点F,连接DF,D因为G为△ABC的重心，所以AG=号AR,2因为AE=2ED,所以AE=3AD,,AE AG则AD=AF,所以EG∥DF.又EG￠平面BCD,DFC平面BCD,所以EG∥平面BCD.(2)解：当三棱锥D-ABC的体积最大时，平面ABD⊥平面ABC,且△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，则AC=BC=AD=BD=2√2】以O为坐标原点，OB,OC,OD所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(-20,0,B2,00,C020,D00,2,E(-号0，)G(0,号0所以C元=0，-22，E=(-号0，）G=-(2,号0DAB4B·m=0,32+之=0，设平面BGE的一个法向量为m=(x,y,之)，则BG·m=0,取x=1,则y=3,之=2，2x3y=0.故m=(1,3,2).设直线CD与平面BGE所成的角为0，则sin0=m·C西2√7√14×√814